คณิตศาสตร์

สมบัติของเลขยกกำลัง

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. บอกความหมายของเลขยกกำลังได้
2. เขียนจำนวนที่กำหนดให้ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกได้
3. เขียนจำนวนแทนเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกที่กำหนดให้ได้
4. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
5. นำสมบัติของเลขยกกำลังไปใช้ในการคำนวณและแก้ปัญหาได้

การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป an ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

พหุนามและเศษส่วนของพหุนาม

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. ทบทวนความรู้เรื่องพหุนามจากที่ได้เคยเรียนมา
2. รู้จักและแก้ปัญหาเกี่ยวกับการคูณพหุนามได้
3. รู้จักและแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหารพหุนามได้
4. รู้จักและอธิบายเกี่ยวกับเศษส่วนของพหุนามได้
5. สามารถบวก ลบ คูณ หารเศษส่วนของพหุนามได้

การประยุกต์เกี่ยวกับอัตราส่วนและร้อยละ

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. สารถบอกเกี่ยวกับอัตราส่วน และร้อยละได้
2. สามารถนำอัตราส่วนและร้อยละไปประยุกต์ใช้ได้

อัตราส่วน
อัตราส่วน a : b หรือ a / b เป็นการเปรียบเทียบปริมาณ a และ ปริมาณ b ซึ่งอาจมีหน่วยเดียวกันหรือต่างหน่วยกัน

ร้อยละ
ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์ เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งกับ 100
การประยุกต์ของการแปลงทางเรขาคณิต

การแปลงทางเรขาคณิต(Transformation) คือ การเคลื่อนไหวของรูปเรขาคณิต โดยการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนของรูปหนึ่ง ๆ พบได้ในสิ่งแวดล้อมรอบตัวเรา สามารถจำลองออกมาในรูปของการแปลง รวมทั้งงานศิลปะต่าง ๆ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2. นําความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใช้ในการปัญหา

ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้

ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง[1]

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,} (อาจแทนด้วยตัวแปรอื่นเช่น x, y, z,ก,ข,ค)

โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์[2][3] แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์[4][5]

ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณ

ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของอีกสองด้านที่ประกบมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}

หรือ

{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}

ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้

{\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}\,}

หรือ

{\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\,}

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้ อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส